Mechanika tuhého tělesa

Tuhé těleso

• Je to ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil
• tímto tělesem nahrazujeme jiná tělesa

Pohyb tuhého tělesa

• každý pohybu tuhého tělesa si můžeme představit jako pohyb složený z pohybu posuvného (translace) a pohybu otáčivého (rotace)

Posuvný pohyb

• každý bod tělesa opisuje stejnou trajektorii a v daném okamžiku mají stejnou rychlost
• může být přímočarý, křivočarý nebo rovnoměrný, nerovnoměrný
• př. píst v motoru

Otáčivý pohyb

• všechny body tělesa mají v daném okamžiku stejnou úhlovou rychlost
• uvažujeme jen otáčivý pohyb, kdy osa otáčení nemění svou polohu
• sledujeme tedy otáčení tělesa kolem nehybné osy
• rychlosti jednotlivých bodu jsou přímo úměrné jejich vzdálenosti od osy otáčení
• př. brusný kotouč

Moment síly vzhledem k ose otáčení

• otáčivý účinek síly závisí na její velikosti, směru a poloze působiště
• F1 dveře se nehnou, F2 má menší otáčivý účinek než F3
• veličina, která vyjadřuje otáčivé účinky síly je moment síly vzhledem k ose otáčení

Moment síly

• značka M, vektorová veličina, jednotkou N.m
• vzdálenost d se nazývá rameno síly
• otáčivý účinek síly je tím větší čím je rameno síly delší
• Směr momentu síly určíme podle pravidla pravé ruky

Pravidlo pravé ruky

Položíme-li pravou ruku na těleso tak, aby prsty ukazovaly směr otáčení tělesa, pak vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

Pokud na těleso působí více sil, jejich výsledný moment sil je určen vektorovým součtem momentů jednotlivých sil.

Momentová věta

Otáčivé účinky sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů všech sil vzhledem k ose otáčení nulový.

Skládání sil

• skládat síly působící na těleso znamená nahradit je jedinou silou, která má stejné účinky jako všechny skládané síly. Tato síla se nazývá výslednice sil

Síly F1 a F2 přeneseme po vektorových přímkách do průsečíku C. V bodě C je složíme do vektorového rovnoběžníku. Výslednici F pak přeneseme do bodu D, který leží na spojnici působišť A a B. Takto postupujeme při skládání libovolného počtu různoběžných sil.

Aby měla výslednice stejné otáčivé účinky musí se její moment síly rovnat součtu momentů skládaných sil.

Rovnoběžné síly

Stejný směr: působiště výslednice leží na spojnici působišť skládaných sil v bodě, který vznikl rozdělením spojnice v obráceném poměru velikostí sil.

Příklad

Působiště leží 1 m od působiště síly F1: Spojnice je 3 m a rozdělí se

v poměru 5:10 = 1:2 ( 1m : 2m od působiště F1)

Opačná směr: , F2 se přemístí do působiště F1 a F1 se přemístí do působiště F2 a obrátí se její směr, tam, kde spojnice velikostí obou sil protne spojnici působišť je působiště výslednice.

Obrázek a) stejný směr a obrázek b) směr opačný.Moment síly výslednice musí mít stejný směr a velikost jako výsledný moment skládaných sil.

• vzdálenost působiště výslednice od působiště

Dvojice sil

• zvláštní případ skládání dvou opačných sil, nelze je nahradit výslednicí
• má jen otáčivý účinek, který je vyjádřen momentem D dvojice sil
• vzájemná vzdálenost d vektorových přímek dvojice sil se nazývá rameno dvojice sil

Velikost momentu dvojice sil je rovna součinu velikosti jedné síly a ramene dvojice.

Moment D dvojice sil je kolmý k rovině, v níž leží síly, a jeho směr určíme podle pravidla pravé ruky.

Př. Utahování šroubů, točení volantem

Rozkládání sil

• rozložit sílu znamená nahradit ji více silami, které mají stejný účinek
• při rozkládání platí stejný pravidla jako při skládání

Těžiště tuhého tělesa

• tuhé těleso si představíme jako velké množství hmotných bodů, na každý působí tíhový síla, výslednice těchto sil působí právě v těžišti tělesa
• těžiště je průsečík všech těžnic
• těžiště nepravidelného tělesa získáme tak, že je zavěšujeme a těžiště je vždy pod bodem závěsu, přímka spojující těžiště a bod závěsu je těžnice

Těžiště tuhého tělesa je působiště tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli.

Poloha těžiště je dána rozložením látky v tělese. Těžiště stejnorodých těles leží ve středu souměrnosti. Jestliže má těleso osu souměrnosti těžiště leží na ní. Nebo leží v rovině souměrnosti u těles, která jí mají.

Rovnovážná poloha tuhého tělesa

• těleso je v rovnovážné poloze, pokud svislá těžnice prochází bodem závěsu a je v klidu
• těleso v rovnovážné poloze splňuje podmínky rovnováhy
• na těleso v rovnováze působí síly, jejichž výslednice je nulová, nastává silovou rovnováhu
• jelikož se těleso také neotáčí tak výslednice momentů je nulová a nastává momentová rovnováha

Tuhé těleso je v rovnovážné poloze, jestliže je vektorový součet všech sil, které na ně působí, i vektorový součet všech momentů těchto sil rovný nule.

Tři různé případy rovnovážné polohy:

Stála (stabilní)

• těleso se po vychýlení vrací zpět do rovnovážné polohy
• při vychýlení se zvyšuje poloha těžiště – zvyšuje se tíhová potenciální energie
• ve stále poloze je výška těžiště nejmenší tak i potenciální energie je nejmenší
• na těleso působí tíhová síla, směrem do rovnovážné polohy a moment tíhové síly, který těleso otáčí zpět do rovnovážné polohy
• např. kulička na dně misky

Vratká (labilní)

• po vychýlení se výchylka ještě více zvětšuje, těleso se samo do rovnovážné polohy nevrátí
• v rovnovážné poloze je těleso a těžiště nejvýše a i potenciální energie je největší, po vychýlení potenciální energie klesá
• tíhová síla působí na těleso ve směru větší výchylky, a moment tíhové síly otáčí těleso do větší výchylky

Volná (indiferentní)

• těleso po vychýlení těleso zůstává v nové poloze
• těleso je v nové poloze opět v rovnovážné poloze
• výška těžiště se nemění, potenciální energie se nemění

Těleso podepřené na ploše je ve stálé rovnovážné poloze, u podepřených těles je důležitá stabilita tělesa. Stabilitu tělesa určuje práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístily ze stálé rovnovážné polohy do polohy vratké.

Kinetická energie tuhého tělesa

• tuhé těleso může konat pohyb posuvný i otáčivý, případně oba tyto pohyby

Posuvný pohyb:

• všechny body tělesa opisují stejnou trajektorii a v každém okamžiku mají stejnou okamžitou energii
• kinetická energie tuhého tělesa je rovna kinetické energii hmotného bodu o stejné hmotnosti a rychlosti

Otáčivý pohyb:

• kolem nehybné osy, pro všechny body mají stejnou úhlovou rychlost, rychlosti jednotlivých bodů jsou přímo úměrné jejich vzdálenostem od středu (osy) otáčení
• kinetická rychlost při otáčení mimo jiné závisí na rozložení látky v tělese, tuto vlastnost vyjadřuje moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k ose otáčení, značka J

Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení je definován vztahem: Jednotka kg.m2

Steinerova věta (osa otáčení není v těžišti): , – moment setrvačnosti, kdy je osa otáčení v těžišti

Kinetická energie tuhého tělesa otáčejícího se kolem nehybné osy úhlovou rychlostí je dána:

Pokud koná těleso posuvný i otáčivý pohyb současně je kinetická energie dána:

J0 je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení jdoucí těžištěm tělesa.