Mechanické kmity

rovnovážná poloha – bod, v jehož okolí těleso kmitá

periodický kmitavý pohyb – pravidelné procházení rovnovážnou polohou

Kmitavý pohyb

• pohyb tělesa, kdy těleso nepřekročí určitou vzdálenost od rovnovážné polohy
• trajektorie přímočaré nebo křivočaré
• nerovnoměrný pohyb

o tlumený – se zmenšuje

o netlumený –

Oscilátor

• zařízení, které volně (bez vnějšího působení) kmitá (těleso na pružině)
• příčinou kmitání je síla pružnosti (vzniká při deformaci pružiny), která je v rovnovážné poloze stejně velká jako tíhová síla, ale má opačný směr

Kyvadlo

• těleso zavěšené na laně, příčinou kmitání je pohybová složka tíhové síly

kmit – část kmitavého pohybu, kdy se těleso vrátí do stejné polohy

časový diagram – zobrazení závislosti dráhy na čase

Perioda nebo doba kmitu T, za kterou proběhne jeden kmit a oscilátor dospěje do stejné polohy jako v počátečním okamžiku.

Frekvence nebo kmitočet f, který je roven počtu kmitů za jednu sekundu. Je tedy převrácenou hodnotou periody. jednotka: Herz (Hz) – Příklady kmitavých pohybů: lidské srdce, střídavý proud, zvuk tónu, procesor počítače, signál televize.

Harmonické kmitání

Při pohybu mechanického oscilátoru se okamžitá výchylka y periodicky mění a vzhledem k rovnovážné poloze nabývá kladných i záporných hodnot. V určitých časech dosahuje y největší kladné popř. záporné hodnoty. Absolutní hodnota největší výchylky je amplituda ym.

Kmitavý pohyb je průmět pohybu rovnoměrného po kružnici do svislé polohy. (z toho odvodíme vztah pro okamžitou výchylku), kde r je polohový vektor a je fáze kmitavého pohybu, po dosazení získáme , a tato rovnice popisuje nejjednodušší kmitavý pohyb – harmonický kmitavý pohyb – je to jeho základní rovnice ( )

Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu

• v rovnovážné poloze rychlost největší v amplitudě výchylka nulová
• odvozením z pohybu kružnici dostáváme: ; amplituda rychlosti:
• z tohoto vztahu dostaneme: ; nebo
• zrychlení harmonického kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a v každém okamžiku má opačný směr
• při pohybu tělesa s rovnovážné polohy koná těleso zpomalený pohyb, při pohybu do rovnovážné polohy zrychlený pohyb a v největší vzdálenosti od rovnovážné polohy dosahuje amplitudy zrychlení:

Fáze kmitavého pohybu

• pokud kmitání oscilátoru nezačíná v rovnovážné poloze počáteční fáze kmitavého pohybu není nulová a vztah pro okamžitou výchylku je: , kde je počáteční fáze kmitavého pohybu
• počáteční fáze může být záporná nebo kladná
• při srovnávání dvou harmonických kmitavých pohybů určujeme fázový rozdíl
• pokud srovnáváme dvě kmitaní se stejnou u frekvencí je fázový rozdíl určen rozdílem jejich počátečních fází
• pokud je fázový rozdíl pak mají obě kmitání stejnou fázi, pokud je rozdíl pak kmitají s opačnou fází

Složené kmitání

• kmitání, kdy oscilátor koná více kmitavých pohybů

Princip superpozice – konečná poloha tělesa nezávisí na pořadí pohybů, které koná

Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých pohybů téhož směru s okamžitými výchylkami , je okamžitá výchylka rovna

Skládáním dvou harmonických kmitání o stejných frekvencí vzniká opět harmonické kmitání o stejně frekvenci. Jeho amplituda výchylky závisí na fázovém rozdílu složek.

• jestliže pak
• jestliže pak , pokud pak kmitání zaniká

Pokud těleso koná kmitavé pohyby o různé frekvenci, vzniká kmitání, které není harmonické.

Pokud se frekvence jen velmi málo liší, amplituda výchylka se periodicky zvětšuje a zmenšuje a vzniká složené kmitání tzv. rázy. Amplituda se mění s frekvencí.

Dynamika kmitavého pohybu

• sílu, která způsobuje kmitavý pohyb určíme z 2. pohybového zákona , víme, že takže dostaneme , což je pohybová rovnice harmonického kmitavého pohybu
• parametry oscilátoru: hmotnost tělesa m a tuhost pružiny k
• tuhost určuje jakou sílu potřebujeme k protažení pružiny o 1 m ;
• v rovnovážné poloze působí na těleso síla pružnosti
• také působí tíhová síla, která se rovná síle pružnosti v rovnovážné poloze: , má opačný směr
• při kmitání se síla pružnosti mění a na těleso působí výslednice tíhové síly a síly pružnosti, je to síla proměnlivá a závisí na: , směřuje neustále do rovnovážné polohy a je příčinnou kmitavého pohybu,

Úhlová frekvence závisí jen na parametrech oscilátoru (hmotnost, tuhost). Toto kmitání označujeme jako vlastní kmitání oscilátoru a Matematické kyvadlo

• těleso zavěšené nad těžištěm
• můžeme mluvit o přímočarém kmitavém pohybu pokud úhel vychýlení nepřekročí 5o
• příčinou pohybu kyvadla je pohybová složka tíhové síly ;
• pokud má kyvadlo vlastnosti mechanického oscilátoru, můžeme použít stejné vztahy jako pro kmitání oscilátoru ; , či-li perioda nezávisí na hmotnosti tělesa ani na výchylce s rovnovážné polohy, jelikož g = konst také je perioda určena pouze délkou závěsu

Přeměny energie v mechanickém oscilátoru

• těleso zavěšené na pružině v rovnovážné poloze má potenciální energie tíhovou a také pružnosti deformované pružiny
• potenciální energie pružnosti je rovna práci, kterou pružina spotřebovala při prodloužení o délku
• klidová energie oscilátoru:
• po uvedení oscilátoru do pohybu se zvýší celková energie o energii kmitání ;
• je energie kmitání a má dvě složky kinetickou a potenciální

Při harmonickém kmitání se periodicky mění potenciální energie na kinetickou a naopak. Celková energie oscilátoru je konstantní a je rovna součtu klidové energie oscilátoru a energie kmitání dodané oscilátoru při uvedení do pohybu. Energie kmitání je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy výchylky a druhé mocnině úhlové frekvence vlastního kmitání.

Přeměnnou energie oscilátoru na jiné formy energie (vnitřní energii) se amplituda výchylky zmenšuje a vzniká tlumené kmitání.

Kmitání můžeme v určitém intervalu považovat za netlumené.

Vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené. Netlumené kmitání je ideální stav (abstrakce)

Nucené kmitání oscilátoru

• netlumené kmitání zapříčiněné podpůrnými silami, které dodají takové množství energie, které oscilátor ztratil kmitavým pohybem
• v tomto případě je mezi oscilátorem a jeho okolím vazba, jeho kmitání je ovlivňováno vnějšími vlivy
• za nucené kmitání oscilátoru označujeme, když síla F periodicky působí na oscilátor po celou dobu kmitu a vyrovnává ztráty energie
• oscilátor vždy kmitá s frekvencí vnějšího působení a nezávisí na vlastnostech kmitavého objektu

Rezonance mechanického oscilátoru

• tento děj nastane pokud frekvence nucených kmitů je shodná s frekvencí vlastního kmitání oscilátoru – rezonanční frekvence
• při této frekvenci dosáhne nucené kmitaní amplitudy výchylky
• graf závislosti amplitudy výchylka na úhlové frekvenci určuje rezonanční křivka
• s rostoucím tlumením se rezonanční frekvence zmenšuje
• při rezonanční frekvenci nastává rezonanční zesílení nucených kmitů
• rezonanci můžeme považovat za vzájemné působení dvou oscilátoru, jeden je zdrojem nuceného kmitání (oscilátor) a druhý působením zdroje nuceně rozkmitá (rezonátor)
• příkladem jsou spřažená kyvadla – dvě kyvadla spojena pružinou se závaží. Jestliže rozkmitáme jedno kyvadlo, jeho amplituda výchylky se postupně zmenšuje a druhá naopak začíná kmitat, kyvadla si vyměňují energii
• malé vzájemné působení – volná vazba, silné vzájemné působení těsná vazba
• potlačení rezonance

o změna vlastní frekvence mechanismu

o doplnění mechanismu tlumičem kmitání

o zvětšení tření mechanismu