Gravitační pole

21. Gravitační pole

• zprostředkovává silové působení Země na tělesa v jejím okolí pomocí gravitační síly
• gravitační působení je jen jedním z mnoha případů gravitace
• Zdrojem gravitačního pole jsou všechny hmotné objekty.

Newtonův gravitační zákon

• Isaac Newton (17. st ) – vyslovil revoluční myšlenku, že příčinou pohybu těles ve vesmíru je gravitační síla

Každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami Fg a –Fg opačného směru. Velikost gravitační síly Fg pro stejnorodá tělesa tvaru koule je přímo úměrná součinu jejich hmotností m1, m2 a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti r jejich středu.

Konstanta úměrnosti se nazývá gravitační konstanta. Tento tvar můžeme použít i pro nestejnorodá tělesa jiných tvarů než koule, pokud jejich rozměry můžeme zanedbat vzhledem k jejich vzdálenosti tzn. Považujeme je za hmotné body.

Intenzita gravitačního pole

• velikost silového působení gravitačního pole závisí na vzdálenosti
• vektorová veličina stejného směru jako gravitační síla, která působí v daném bodě
• jednotka newton na kilogram

Intenzitu gravitačního pole K v daném místě pole definujeme jako podíl gravitační síly Fg, která v tomto místě na hmotný bod působí a hmotnosti m tohoto bodu.

• intenzita závisí na hmotnosti M tělesa, které pole vytváří a na vzdálenosti r. Nezávisí na hmotnosti hmotného bodu
• největší intenzita je na povrchu koule

Pole, u kterých v všech místě vektor K směřuje do středu pole, se nazývají centrální gravitační pole a střed tělesa, které toto pole vytváří se nazývá gravitační střed centrálního pole.

Představíme-li si Zemi jako stejnorodé kouli o hmotnosti MZ a poloměru RZ, pak intenzita ve výšce h nad povrchem Země je definována:

Centrální gravitační pole je prostorově neohraničené.

Gravitační pole, které má ve všech místech intenzitu K konstantní se nazývá homogenní gravitační pole. Závislost intenzity na vzdálenosti je hyperbola.

Gravitační a tíhové zrychlení

Intenzita gravitačního pole v daném místě pole se rovná gravitačnímu zrychlení, které v tomto místě uděluje tělesu gravitační síla.

Pro zrychlení platí stejné vztahy, které platí pro intenzitu v homogenním gravitačním pole.

Na všechna tělesa, která leží při povrchu Země a neleží na ose otáčení Země, působí kromě gravitační síly také síla setrvačná směřující do středu Země. Výslednice sil je tíhová síla.

Prostor při povrchu Země, kde se projevují účinky tíhové síly se nazývá tíhové pole. Tíhová síla nemá ve všech místech zemského povrchu stejnou velikost. To je dáno nestejnou velikostí setrvačné síly. . V oblasti rovníku je setrvačná největší a tíhová nejmenší. N pólech je to naopak ( setrvačná je nulová ). Změnou tíhové síly se mění i tíhové zrychlení. Dohodou bylo stanoveno normální tíhové zrychlení . U Země mluvíme o homogenním tíhovém poli.

Tíhová síla a tíha tělesa

Tíhová síla a tíha tělesa jsou tedy fyzikálně různé veličiny, které však obě svůj původ v tíhovém poli.

Liší se svým působištěm. Tíha tělesa vyjadřuje působení tělesa umístěného v tíhovém poli Země na jiná tělesa. Projevuje se jako tlaková síla na podložku nebo jako tahová na závěs.

Těleso je ve stavu tíže pokud se projevuje účinek tíhy na jiná tělesa. Pokud tyto účinky vymizí těleso je v beztížném stavu.

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země

• jde o pohyb těles, jejichž trajektorie jsou vůči rozměrům Země tak malé, že tíhové pole, ve kterém se pohybují můžeme považovat za homogenní
• uvažujeme, že na tělesa nepůsobí žádné jiné síly než tíhová síla
• pohyb se studuje v soustavě spojené s povrchem Země
• nezjednoduším pohybem v homogenním poli Země je volná pád spolu s nenulovou počáteční rychlostí tvoří vrch tělesa

Podle směru počáteční rychlosti v0 rozlišujeme svislý vrch vzhůru, vodorovný vrch a šikmý vrch.

Svislý vrch vzhůru

• složený povrch – pohyb svisle vzhůru a volný pád
• tento vrch se koná když je těleso vrženo počáteční rychlostí v0 opačným směrem než má tíhové zrychlení
• pohyb tělesa vzhůru je pohyb rovnoměrně zpomalený
• rychlost klesá až na vrcholu trajektorie je nulová
• poté se těleso vrací volným pádem k Zemi

Rychlost v čase t stoupaní: Výška v čase t stoupání: Největší výška, kterou těleso dosáhne, se nazývá výška vrchu h. Rychlost je nulová a doba výstupu: a výška vrhu: .

Vodorovný vrch

• složený pohyb – pohyb vodorovným směrem + volný pád
• koná těleso, kterému udělíme počáteční rychlost v0 vodorovným směrem

Trajektorie je část paraboly s vrcholem v místě hodu. Pokud tuto parabolu zakreslíme do systému souřadnic s vrcholem v bodech x=0; y=h, tak pro bod B, v němž se těleso ocitne za dobu t, má souřadnice: ; Největší vzdálenost od místa vrhu se nazývá délka vrhu d ( Bod D kdy x=d y=0 ).

. Závisí tedy na počáteční rychlosti v0 a výšce h.

Šikmý vrch vzhůru

• složený pohyb šikmo vzhůru a volný pád
• počáteční rychlost v0 má směr, který s vodorovným směrem svírá , tento úhel se nazývá elevační úhel
• trajektorie je parabola ( pouze ve vakuu ), jejíž vrchol je nejvyšší bod trajektorie
• ve vzduchu těleso opisuje tzv. balistickou křivku ( způsobeno odporem vzduchu )
• ve skutečnosti je délka vrchu menší než ve vakuu
• po zakreslení paraboly do systém souřadnic, zjistíme, že pro libovolný bod trajektorie platí: ;
• délku zjistíme: x=d a y=0
• Nejvyšší výšky dosáhne při elevačním úhlu 45o
• délka vrchu ve vojenské terminologie dostřel

Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země

• při pohybech raket, střel a družic nelze gravitační pole Země považovat za homogenní
• mění se směr i velikost intenzity i zrychlení
• při mále počáteční rychlosti ve vzdálenosti od povrchu Země, kde je odpor vzduchu zanedbatelný, opisuje těleso část elipsy (trajektorie 1), délka trajektorie je závislá na počáteční rychlosti
• při velkých rychlostech se může stát, že těleso nespadne a opíše celou elipsu (trajektorie 2)
• při určité rychlosti tzv. kruhové rychlosti vk těleso opisuje elipsu se středem ve středu Země (trajektorie 3)
• kruhová rychlost je důležitá hlavně pro umělé družice

Kruhová rychlost

• gravitační síla Fg tvoří dostředivou sílu Fd a dostáváme vztah pro tuto rychlost

; Použijeme-li vztah pro zrychlení Dosadíme-li do vztahu pro rychlost vyjde rychlost vk=7,90 km.s-1 – tato hodnota kruhové rychlosti se nazývá první kosmická rychlost pro tuto rychlost je doba oběhu Měsíc je přirozenou družicí Země.

Při počáteční rychlosti málo větší než kruhová rychlost těleso opisuje opět elipsovitou dráhu. Vzdálenost bodu, kde je družice nejblíže středu Země, od středu Země se nazývá perigeum . Vzdálenost bodu, kde je družice nejdále středu Země, od středu Země se nazývá apogeum.

Při počáteční rychlosti se trajektorie mění v část paraboly a těleso se trvale oddaluje od Země. Tato rychlost se nazývá parabolická nebo-li úniková rychlost. Pro vk = 7,90 km.s-1 je v0 = 11,2 km.s-1, což je druhá kosmická rychlost.

Když těleso unikne z oblasti, kde převládá gravitace Země stává se družicí Slunce.

Pohyby těles v gravitačním poli Slunce

• gravitační pole Slunce je mnohokrát větší než Země, Intenzita je asi 28× větší
• úniková rychlost je 618 km.s-1
• gravitační pole Slunce je centrální

Keplerovy zákony popisují pohyb planet ( jen kinematicky )

První Keplerův zákon

• popisuje tvar trajektorie

Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, jejichž společném ohnisku je Slunce.

• odlišnost eliptické dráhy planety od kružnice vyjadřuje tzv. číselná výstřednost e
• např. výstřednost Země e=0,016 7
• vzdálenost bodu, kde je planeta nejdále od Slunce, a Slunce se nazývá perihélium neboli přísluní
• vzdálenost bodu, kde je planeta nejblíže Slunci, a Slunce se nazývá afélium neboli odsluní

Druhý Keplerův zákon

• vysvětluje, jak se planety pohybují

Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.

• průvodičem je úsečka spojující střed planety se středem Slunce
• délka průvodiče se mění, v perihéliu je nejkratší, v aféliu nejdelší, obsah, který opíše je však stejný
• důsledkem je to, že rychlost planety v perihéliu je větší než v aféliu, pohyb planety je nerovnoměrný

Třetí Keplerův zákon

• vztah mezi oběhovými dobami a hlavními poloosami jejich trajektorií

Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií.

• zákon platí pouze pokud hmotnost obou planet je zanedbatelná vůči Slunci
• pokud budeme považovat trajektorie za kružnice můžeme místo a dosadit poloměr trajektorie
• takový poloměr Země je 149,6.106 km a nazývá se astronomická jednotka-značka AU

Sluneční soustava

Slunce – 109× větší průměr než Země, 330 000× větší hmotnost než Země a tvoří 99% hmotnosti planety. Ve sluneční soustavě je 9 planet ( Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun a Pluto. Planety podobné Zemi (Merkur, Venuše, Mars). Kromě planet také planetky, komety, které tvoří meteorické roje, meteory, které dopadnou na Zem jsou meteority.