Pravděpodobnost

Náhodné pokusy

Výsledky náhodných pokusů závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. Množina možných výsledků pokusů:

W

Předpokládá se, že u každého náhodného pokusu je možno předem určit všechny možné výsledky, které se navzájem vylučují (nastane jeden, nemůže nastat druhý) a že jeden z nich nastane vždy.

Náhodné jevy:

Jev je podmnožinou množiny možných výsledků pokusů.

Náhodný jev – výsledek náhodného pokusu

Elementární jev – výsledek pokusu, který nelze v dané situaci dále rozdělit

Nemožný jev (Æ)– jev, který nikdy nenastane

Jistý jev (W)– jev, který nastane vždy

Vztahy mezi jevy:

výsledek w je příznivý jevu A

jev A je podjevem jevu B

jevy A a B jsou si rovny

nastává právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A, B a nazývá se sjednocení jevů A, B

nastává právě tehdy, nastanou-li oba jevy A, B – průnik jevů A, B

jevy A, B se navzájem vylučují (neslučitelné, disjunktní jevy)

nastává, jestliže jev A nenastane (jev opačný k jevu A – doplňkový)

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pokud jde o takový náhodný pokus, u něhož jsou výsledky stejně možné, je jich konečný počet a vzájemně se vylučují, potom se číselná hodnota pravděpodobnosti jevu A určí podle vzorce , kde m je počet všech příznivých výsledků jevu A a n je počet všech možných výsledků.

Příklad:

V loterii je 5000 losů, z nichž 100 je vítězných. Jaká je pravděpodobnost, že zakoupený los je vítězný?

Statistická pravděpodobnost

Je založena na relativní četnosti.

Relativní četnost – podíl počtu pokusů, ve kterých jev A nastal a celkového počtu provedených pokusů.

… absolutní četnost

n………… počet náhodných pokusů

Příklad:

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet roven 5?

Existují 4 příznivé možnosti, kdy 2 kostky dají součet 5. Počet všech možných výsledků se určí použitím variace s opakováním.

Podmíněná pravděpodobnost a pravděpodobnost průniku

Dva jevy jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho jevu nezávisí na nastoupení jevu druhého.

Pravděpodobnost průniku:

závislé jevy……….

nezávislé jevy…….

Příklad:

Pravděpodobnost, že hráč vytáhne z balíčku 32 karet eso je . Je-li tažená karta eso a vytáhne-li hráč další kartu, pak pravděpodobnost, že tažená karta je opět eso je . Vytáhne-li hráč z uvedeného balíčku karet dvě karty, pak pravděpodobnost, že to budou dvě esa je .

Pravděpodobnost sjednocení

A, B – disjunktní jevy

A, B – nejsou disjunktní jevy

Příklady:

1)

A – na kostce padne sudé číslo

B – na kostce padne liché číslo

Jevy se navzájem vylučují.

2)

A – na kostce padne sudé číslo

B – na kostce padne číslo 6

Jevy se navzájem nevylučují, protože 6 je sudé číslo.

Binomické rozdělení pravděpodobnosti (Bernoulliho schéma, nezávislé pokusy)

Náhodné pokusy jsou považovány za nezávislé, jestliže pravděpodobnost výsledku kteréhokoli pokusu nezávisí na výsledcích ostatních pokusů.

Bernoulliho vzorec:

……. jev nastane

……. jev nenastane

n…………­…….. počet pokusů

x…………­…….. počet pokusů, při kterých jev nastane

Příklad:

Jaká je pravděpodobnost, že při opakování 5 hodů hrací kostkou za sebou padne šestka právě třikrát?

Protože pravděpodobnost jevu A: „padne šestka“ je stále stejná: , může se dosadit do Bernoulliho vzorce : .