Aplikace extrému funkcí v úlohách

Využití derivací při řešení slovních úloh. Příklady:

1)

V rovině jsou dány body a . Jaké musí mít bod M souřadnice, aby ležel na ose x a součet byl minimální?

Derivace funkce:

Určení stacionárních bodů:

Druhá derivace funkce – důkaz minima:

pro každé jsou lokální minima

Určení velikosti funkčních hodnot stacionárních bodů:

Minimálního součtu nabývá funkce v bodě .

2)

Jaké budou rozměry rotačního válce o maximálním objemu vepsaného do koule o poloměru R?

objem válce…

objem koule…

Vztah mezi poloměrem válce a poloměrem koule:

Funkce pro objem válce:

Určení extrémních hodnot z první derivace:

Určení poloměru podstavy válce:

Důkaz extrému pomocí druhé derivace:

jedná se o lokální minimum