Variace, permutace, kombinace

Faktoriál čísla

Příklad:

Kombinatorika Variace bez opakování:

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.

Permutace bez opakování:

Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto prvků bez opakování.

Kombinace bez opakování:

Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvíce jednou.

Příklady:

1)

Kolika způsoby lze na šachovnici 8×8 vybrat:

1. trojici políček
2. trojici políček neležících v témže sloupci
3. trojici políček neležících v témže sloupci ani v téže řadě
4. trojici políček, která nejsou všechna téže barvy

a)

b) existuje 448 trojic políček, která leží v Temže sloupci

c) existuje 896 trojic políček, která neleží v témže sloupci ani v téže řadě

d) existuje 9920 trojic políček, která jsou všechna bílá nebo všechna černá

2)

Kolika způsoby je možno ze 7 mužů a 4 žen vybrat 6-člennou skupinu, v níž jsou právě 2 ženy?

3)

K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici barvy bílá, červená, zelená, modrá a žlutá.

1. Kolik vlajek se může z těchto barev sestavit?
2. Kolik vlajek sestavených z těchto barev má modrý pruh uprostřed?

Záleží na pořadí barev.

a)

2. S modrým pruhem uprostřed se vybírá pouze ze 4 barev pro dva pruhy.

4)

Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, jestliže se cifry v čísle neopakují?

Variace bez opakování:

Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.

Permutace bez opakování:

Permutace s opakováním z n prvků je k-tice uspořádaná z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou.

Kombinace bez opakování:

Kombinace k-té třídy z n prvků s opakování je každá neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.

Příklady:

1)

Kolik přirozených čtyřciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

1. Kolik z nich bude sudých?
2. Kolik z nich bude lichých?

1. Sudá čísla mohou mít na konci pouze 2, 4 a 6, takže se počítají možnosti jen pro první 3 místa a výsledný počet se násobí 3.
2. Lichá čísla mohou mít na konci pouze 1, 3, 5 a 7, takže se počítají možnosti jen pro první 3 místa a výsledný počet se násobí 4.

2)

Kolik přirozených pěticiferných čísel lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li být v každém z nich číslo 5:

1. 3-krát
2. nejvýše 3-krát
3. alespoň 3-krát

1. 3×…5, 2×…7 ?
2. 3×…5, 2×…7 ?

2×…5, 3×…7 Þ 1×…5, 4×…7 Þ 0×…5, 5×…7 Þ Čísel lze sestavit 26 (součet všech výsledných hodnot).

3. 3×…5, 2×…7 ?

4×…5, 1×…7 Þ 5×…5, 0×…7 Þ Čísel lze sestavit 16 (součet všech výsledných hodnot).

3)

Jaký je počet kvádrů, jejichž velikosti hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti?