Posloupnost, vlastnosti, limita posloupnosti

Posloupnosti

Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel N se nazývá nekonečná posloupnost.

Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel , kde je pevně dané číslo z množiny N, se nazývá konečná posloupnost. Typy zadání posloupností:

1. výčtem prvků
2. vzorcem pro n-tý člen
3. rekurentně – je zadán jeden člen posloupnosti (většinou první) a předpis, jak se z předcházejícího členu dostane následující

Příklad:

1)

2)

3)

Graf posloupnosti:

Příklad:

Vlastnosti posloupností:

rostoucí

klesající

neklesající

nerostoucí

shora omezená

existuje takové reálné číslo h, že

zdola omezená

existuje takové reálné číslo d, že

omezená

je omezená shora i zdola

Limita posloupnosti

Říká se, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje reálné číslo a takové, že platí:

Posloupnosti, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní.

Věty:

1. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
2. Každá konvergentní posloupnost je omezená.
3. Nechť posloupnosti a mají limity a .
4. Každá geometrická posloupnost pro jejíž kvocient platí, že má limitu rovnu 0.

Příklad:

1)

2)

3)

4)