Polohové a metrické vztahy základních a geometrických útvaru v prostoru

Stereometrie

· Část geometrie, která se zabývá studiem geometrických útvarů v prostoru. Základní geometrické útvary:

Přímka je určena dvěma různými body.

Rovina je určena třemi různými body neležícími v jedné přímce.

Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich hraniční rovinou.

Tělesa: Krychle

Kvádr

Pravidelný n-boký hrynol

Hranol s podstavou pravidelného n-úhelníku (např. kvádr s podstavou čtverce nebo hranol s podstavou pravidelného osmiúhelníku).

Kvádr s podstavou čtverce

Rotační válec

Čtyřstěn

Jehlan

Rotační kužel

Komolý kužel

Komolý jehlan

Koule

Polohové vztahy Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami:

Ì, Î…… je incidentní (leží na)

Ë, Ï…… není incidentní (neleží na)

Přímka leží v rovině, leží-li v rovině alespoň dva její body.

Příklad: 1)

Urči spodní rovinu krychle.

Pomocí bodů:

ABC; BCD; CDA; DAB; ABD; BCA; CDB; DAC

Pomocí přímek:

AB, CD; BC, DA; AB, BC; BC, CD; CD, DA; DA, AB; AB, BD; AB, AC; BC, CA; BC, BD; CD, CA; CD, DB; DA, AC; DA, BD

Pomocí přímky a bodu:

AB, C; AB, D; BC, D; BC, A; CD, A; CD, B; DA, B; DA, C; AC, B; AC, D; BD, A; BD, C

Vzájemná poloha dvou přímek:

Rovnoběžné

· různé (AB, GH)

· splývající (totožné; AB, BA)

Různoběžné (CG, GH)

Mimoběžné – neleží v jedné rovině a nemají žádný společný bod (AB, CG).

Příčka mimoběžek – přímka, která obě mimoběžky protíná a je na ně kolmá (BC).

Příklad: 2)

různoběžné (společná rovina EFG)

mimoběžné

různoběžné (společná rovina BCE)

rovnoběžné (společná rovina BGX)

mimoběžné

Vzájemná poloha dvou rovin:

O dvou různých rovinách, které mají společnou přímku říkáme, že jsou různoběžné a tato přímka je jejich průsečnice.

Nemají-li dvě roviny žádný společný bod, nazýváme je rovnoběžné.

Mají-li roviny všechny body společné, nazýváme je splývající (totožné).

AB – průsečnice rovin r a a

GH – průsečnice a a b

• rovnoběžné

vrstva – průnik v poloprostoru r a b

šířka (tloušťka) vrstvy – vzdálenost hraničních rovin r a b ()

klín – průnik poloprostoru r a a

hrana klínu – průsečnice hraničních rovin r a a (AB)

Vzájemná poloha přímky a roviny:

Rovnoběžné

· různé (EX, r) – nemají žádný společný bod

· splývající (totožné; AB, r) – mají všechny body společné

Různoběžné (EX, r) – mají společný jediný bod (průsečík; X) Př.:

Urči všechny přímky, které procházejí bodem H a jsou s rovinou ABC:

1. rovnoběžné rúzné
2. různoběžné

1. HE, HF, HG
2. HA, HB, HC, HD

Vzájemná poloha tří rovin:

rovnoběžné

2 rovnoběžné, třetí různoběžná

různoběžné (1 průsečnice)

různoběžné (3 průsečnice)

různoběžné (1 bod)

Rovnoběžnost přímky a roviny:

Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.

Kritérium rovnoběžnost přímky a roviny:

Přímka p je rovnoběžná s rovinou r, obsahuje-li rovina r alespoň jednu přímku p’, která je s přímkou p rovnoběžná.

Je-li přímka rovnoběžná se dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí. Rovnoběžnost dvou rovin:

Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin:

Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou s druhou rovinou.

Daným bodem lze k dané rovině vést jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.

Řezy

Řez je průnik tělesa a roviny.

Řez je rovinný útvar, jehož hranice tvoří průsečnice roviny řezu a stěn tělesa. Vlastnosti používané při konstrukci řezů:

Leží-li dva různé body řezu v rovině stěny tělesa, leží v této stěně i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stanou řezu.

Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s těmito stěnami rovnoběžné.

Průsečnice rovin dvou sousedních stěn s rovinou řezu a přímka v níž leží společná hrana dvou stěn se protínají v jediném bodě.

Př.:

Sestroj řez ABX.

Sestroj řez BEM.

Sestroj řez MNO

Průsečnice rovin Př.:

Sestroj průsečnici p rovin AFH a ACE.

Sestroj průsečnici p rovin ABC a AMN.

Metrické vztahy Odchylka dvou přímek:

Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých úhlů nebo pravých úhlů, které přímky svírají.

Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°.

Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru, rovnoběžně s danými mimoběžkami. Př.:

1. odchylka AH a AE je 45°
2. odchylka AH a AC je 60°
3. odchylka AH a CF () je 90°
4. odchylka CF a AC je 60

Kolmost přímek a rovin:

Dvě přímky jsou na sebe kolmé právě když je jejich odchylka 90°.

Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě když je přímka kolmá ke dvěma přímkám roviny.

Kritérium kolmosti přímky a roviny:

Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny, pak je kolmá k rovině.

Kolmost dvou rovin:

Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině.

Odchylka dvou rovin:

Odchylka dvou rovin je odchylka průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Př.:

Urči odchylku rovin ABC a BCV ().

X je polovina AD. Y je polovina BC. Vhodná kolmá rovina pro proložení je XYV. Průsečnice rovin ABC a XYV je XY a rovin BCV a XYV je YV.

Pomocí Pythagorovy věty se vypočítá délka YV:

Pomocí kosinusovy věty se vypočítá velikost úhlu a:

(Výsledky byly zaokrouhleny. Přesný výsledek je .)

Odchylka přímky a roviny:

Odchylka přímky a roviny je nejmenší z odchylek přímky a libovolné přímky roviny. Př.:

Urči odchylku přímky BH a roviny ABC ().

Vhodná kolmá rovina pro proložení je BDH. Průsečnice rovin ABC a BDH je přímka BD. Odchylka přímky BH a roviny ABC je rovka odchylce přímky BH a průsečnice BD.

Pomocí Pythagorovy věty se spočítá délka BD:

Pomocí tangentovy věty se spočítá úhel a: