Matice a determinanty

Matice

Definice:

Matice typu (m,n) je množina m×n čísel uspořádaná do obdélníkového tvaru o m řádcích a n sloupcích.

Tato čísla nazýváme prvky matice

čísla aij, kde i = 1, 2, 3, …m

j = 1, 2, 3, …n

Důležité typy matice:

· Nulová matice – každý její prvek je roven 0.

Značka

· Čtvercová matice n- tého stupně – má stejný počet řádků i sloupců

aii – diagonální čtvercová matice

• Diagonální matice – je čtvercová matice, která má kromě diagonály všechny prvky rovné 0

• Jednotková matice – EN je to diagonální matice, kde všechny prvky diagonály se rovnají 1

• Transponovaná matice k matici A(m,n) – je matice AT(m,n), ve které jsou vyměněny řádky za sloupce

Operace s maticemi:

1. sčítání a odčítání:

2. Násobení konstantou:

Matici násobíme reálným číslem k, tak že tímto číslem vynásobíme každý prvek matice.

3. Násobení:

Matice můžeme násobit pouze matici B(m,n) (matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců). Součinem, takových matic AB je matice C(m,n) pro jejichž prvky platí:

Hodnost matice:

Hodnosti matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A značíme: h(A).

Lineární závislé řádky: – jeden řádek je násobkem druhého

Věta:

Hodnost matice se nezmění, jestliže:

• Zaměníme pořadí řádků
• Některý násobíme číslem, ale od 0
• Ke kterémukoliv řádku matice přičteme jiný řádek matice
• Přidáme nebo vynecháme řádek, který je násobkem jiného řádku

Čtvercová matice An se nazývá regulérní, jestliže hodnost této matice se rovná n, v opačném případě se nazývá singulární.

Říkáme, že matice má trojúhelníkový tvar, jestliže každý její nenulový řádek začiná větším počtem nul, než řádek předcházející.

(8)

(-5)

Každou matici lze převést na trojúhelníkový tvar.

(-2) (-3)

» »

Determinanty

Nechť je dána čtvercová matice Determinantem řádu n matice A nazýváme číslem Determinantu a značíme D, které definujeme takto:

Příklad: n = 3

Cramerova metoda řešení soustav lineárních rovnic

Pouze v případě n rovnic o n neznámých

A – matice soustavy

D – determinant soustavy

x=[x1; x2; x3; …xn]

kde

Di je determinant, který dostaneme z determinantu soustavy.

Příklad:

Vlastnosti determinantů:

A. Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme – li řádky za sloupce.

B. Jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant 0.

C. Jestliže v determinantu vyměníme 2 řádky, determinant změní znaménko.

D. Jestliže determinant má 2 řady stejné, rovná se 0.

E. Je – li některý z řádku determinantu násobkem jiného řádku, pak se deter. rovná 0.

F. Násobíme – li některý řádek determinantu D reálným číslem c různým od 0, dostaneme determinant D‘, pro který platí D‘=c×D

G. Přičteme – li k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění.

Příklad: