Důkazy v matematice

Logická výstavba matematiky

Axiony (postuláty) – výchozí matematické výroky, které se prohlásí za pravdivé bez dokazování.

Definice – zavádí nové matematické pojmy pomocí pojmů již definovaných.

Věta:

Pravdivý matematický výrok a dá se odvodit pomocí logiky na základě axionů, definic a dříve dokázaných vět.

tvar věty:

P … předpoklad

T … tvrzení

obměněná věta..

obrácená věta… (nemusí být vždy větou)

negace věty…….

Kvantifikátory:

… obecný kvantifikátor

… existenční kvantifikátor

Při negaci věty se mění na a naopak.

Důkazy matematických vět Přímý důkaz:

– výrok

1. nalézt výrok A, který platí
2. dokázat
3. platí výrok V

Příklady:

Úkolem je dokázat, že platí následující výroky.

1)

Pro všechna platí, že výraz je dělitelný 3.

Všechna přirozená čísla mohou být rozdělena do tří skupin: .

2)

Součin dvou za sebou jdoucích čísel je dělitelný 2.

Součin dvou za sebou jdoucích čísel:

Všechna přirozená čísla mohou být rozdělena do dvou skupin: .

Nepřímý důkaz:

Místo věty v podmínkovém tvaru se přímo dokáže věta obměněná.

Příklady:

Úkolem je nepřímo dokázat, že platí následující výroky.

1)

Jestliže je dělitelné 5, pak n není dělitelné 5.

Věta obměněná: Jestliže n je dělitelné 5, pak není dělitelné 5.

výraz není dělitelný 5

2)

Jestliže je sudé, pak n je sudé.

Věta obměněná: Jestliže n je liché, pak je liché.

výraz je lichý

Důkaz sporem:

Předpokládá se, že daná věta neplatí, a tudíž platí její negace: .

Příklad:

Pro všechna kladná reálná čísla platí:

Negace věty: Pro všechna kladná reálná čísla platí:

toto není pravda – spor

Důkaz matematickou indukcí:

I. základ indukce

Věta se dokáže pro první nejmenší prvek dané množiny .

II. indukční krok

Indukční předpoklad – předpokládá se, že věta platí pro přirozené číslo k.

Pomocí tohoto indukčního předpokladu se dokáže, že věta platí i pro číslo .

Závěr

Platí-li věta pro nejmenší přirozené číslo a, pak se ve druhém kroku volí a dokáže se, že to platí i pro . Opakováním 2. kroku se dokáže, že to platí pro každé n z množiny .

Příklad:

I.

II.

předpoklad:

D!